APHM Angewandte Physik und höhere Mathematik

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Zahlensysteme

Einleitung

Jedes Zahlensystem hat so viele Ziffern, wie die Basis B groß ist. Die kleinste Ziffer ist 0, die größte Ziffer den Wert B-1.

Eine sehr gute Erklär-Webseite zu Zahlensystemen, deren Umrechnung (Interaktiver und erklärender Rechner) findet ihr hier.

Dezimal (Base 10)

Ist das System was wir alltäglich nutzen. Die Ziffern gehen von 0-9. Das bedeutet: 347 = 3 Hunderter + 4 Zehner + 7 Einer =

 3*102 = 3*100 = 300
 4*101 = 4*10  =  40
 7*100 = 7*1   =   7
                -----
                 347

Binär/Dual (Base 2)

Ist das System was der Computer/die Elektronik nutzt, weil es ja nur "Strom an" (1) und "Strom aus" (0) geben kann.
(Bit = "Binary Digit")

Eine weitere Einheit, die man in Zusammenhang mit Bit hört (Binärzahl), ist das Byte (Auch Oktett genannt). Ein Byte sind einfach nur 8 Bits aneinander. 1 Byte kann zB. 0-255 darstellen, 2 Bytes schon 0-65535.

Hier noch eine Tabelle der größen-Einheiten des Bytes:

Kurzform Bezeichnung Größe (Relational) Verwendung
B Byte 8 Bits
KB KiloByte 1024 Byte Dateien
MB MegaByte 1024 KB RAM-Speicher, Dateien
GB GigaByte 1024 MB Speicherkapazität von Datenträger (USB-Sticks, DVDs, SD-Karten), Dateien und RAM-Speicher
TB TerraByte 1024 GB Speicherkapazität von Massenspeicher (Festplatten)
PB PetaByte 1024 TB

Bedeutung von Dezimal und Binärpräfixen

Wikipedia-Eintrag

SI-Präfixe

Für Datenspeicher mit binärer Adressierung ergeben sich technisch Speicherkapazitäten basierend auf Zweierpotenzen (2n Byte).

  • 1 Kilobyte (kB) = 1000 Byte
  • 1 Megabyte (MB) = 1000 Kilobyte = 1000 × 1000 Byte = 1.000.000 Bytes
  • ...

Bei HDD's und SSD-Laufwerken (und anderen Speichermedien) ist diese Form weit verbreitet, während die Gräße von Arbeitsspeicher (RAM), Grafikspeicher und Prozessor-Cache nur binär angegeben.
Vereinzelt kommen auch Mischformen vor, etwa bei der Speicherkapazität einer 3,5-Zoll-Diskette (1984):

  • Angezeigt: 1,44 MB ⇒ Aber es sind: 1440 KiB = 1440 × 1024 Byte = 1.474.560 Byte.

IEC-Präfixe

Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, schlug die IEC 1996 neue Einheitenvorsätze vor, die nur in der binären Bedeutung verwendet werden sollten.
Dabei wird eine den SI-Präfixen ähnlich lautende Vorsilbe ergänzt um die Silbe „bi“, die klarstellt, dass es sich um binäre Vielfache handelt. Ein Beispiel:

  • 1 Kibibyte (KiB) = 1024 Byte
  • 1 Mebibyte (MiB) = 1024 × 1024 Byte = 1.048.576 Byte.

Vergleich

Microsoft rechnet für Datengrößen immer mit Zweierpotenzen, gibt diese dann aber mit Hilfe der SI-Präfixe an.
So wird also ein 128-GB-Speichermedium als "119,2 GB" angezeigt, obwohl es laut IEC "119,2 GiB" lauten müsste.

  • (128 GB = 128.000.000.000 Byte) < (120 GiB = 128.849.018.880 Byte = 120 × 1024 × 1024 × 1024 Byte)

Dieser Unterschied wird erst bei größeren Einheiten erkennbar:

Dezimalpräfixe Unterschied (gerundet) Binärpräfix gemäß IEC
Name Symbol Anzahl an Bytes . Name Symbol Anzahl an Bytes
Kilobyte KB (oder kB) 1 000 = 103 2,4% Kibibyte KiB 1 024 = 210
Megabyte MB 1 000 000 = 106 4,9% Mebibyte MiB 1 048 576 = 220
Gigabyte GB 1 000 000 000 = 109 7,4% Gibibyte GiB 1 073 741 824 = 230
Terabyte TB 1 000 000 000 000 = 1012 10,0% Tebibyte TiB 1 099 511 627 776 = 240

Dezimal in Binär

Methode 1: Dividieren

Gehe nach folgendem Verfahren vor:

(1) Teile die Zahl mit Rest durch 2.
(2) Der Divisionsrest ist die nächste Ziffer (von rechts nach links).
(3) Falls der (ganzzahlige) Quotient = 0 ist, bist du fertig,
    andernfalls nimm den (ganzzahligen) Quotienten als neue Zahl 
    und wiederhole ab (1).
(4) Am Ende die Zahl von unten nach oben schreiben.
                        
    347 : 2 = 173  Rest: 1    
    173 : 2 =  86  Rest: 1    
     86 : 2 =  43  Rest: 0    
     43 : 2 =  21  Rest: 1    
     21 : 2 =  10  Rest: 1    
     10 : 2 =   5  Rest: 0    
      5 : 2 =   2  Rest: 1    
      2 : 2 =   1  Rest: 0    
      1 : 2 =   0  Rest: 1    
                              
               Resultat: 101011011

Methode 2: Tabelle und subtrahieren

Ein anderes Verfahren um ein Oktett (max. 255) schneller auszurechnen:

  1. Die Vielfachen (2n) in Tabellen-Form (Von links -> rechts, 128 -> 1) aufschreiben
  2. Jetzt von links nach rechts wie folgt arbeiten:

Schauen, ob unsere Zahl in die Zahl der Spalte (zB. 128) reinpasst.

  • Wenn ja, "1" drunter schreiben und die Zahl der Spalte von unserer Zahl abziehen, und mit dieser weiter-prüfen. (zB. 177-128=49)
  • Wenn nein, "0" drunter schreiben und mit der nächsten Spalte einfach fortfahren.

Hier ein Beispiel mit der Zahl "177".
Die 3. Zeile ist nur ein Zusatz zur verdeutlichung von mir, in der steht wie die Zahl nach dem abziehen aussieht (Falls abgezogen wurde).

. 128 64 32 16 8 4 2 1
. 1 0 1 1 0 0 0 1
177 49 17 1 0

Am Ende hat man seine Binärzahl direkt in der richtigen Schreib-Reihenfolge (Links -> Rechts): "10110001".

Binär in Dezimal

Gehe nach folgendem Verfahren vor:

(1) Drehe die Binärzahl um.
(2) Schreibe die einzelnen Ziffern untereineinander.
(3) Multipliziere jede Ziffer mit 2n, wobei "n" jede Zeile um 1 steigt.
    1 * 20   (0) =      1
    0 * 21   (2) =      0
    1 * 22   (4) =      4
    0 * 23   (8) =      0
    1 * 24  (16) =     16
    1 * 25  (32) =     32
    0 * 26  (64) =      0
    1 * 27 (128) =    128
    1 * 28 (256) =    256
                     -----
          Resultat:   347


Die folgende Tabelle soll das Prinzip noch einmal veranschaulichen:

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 213 214 215 216
0 1 2 4 8 16 32 64 128 => 256 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 => 65535

Binär addieren

Hier gelten die Regeln:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 Ü1

Beispiel:

 11001110 => 206
 01001101 =>  77
 11011001 => 217
----------------
111110100 => 500

Binär subtrahieren

Hier gelten die Regeln:

0 - 0 = 0
0 - 1 = 1 Ü1
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0

Beispiel:

 11011001 => 217
-01001101 =>  77
-----------------
 10001100 => 140

Hexa (Base 16)

Wird oft genutzt, um Computer-Adressen (zB im RAM), Farb-Werte (RGB) uvm. in der Computer-Welt darzustellen. Dies macht Hexa-Zahlen sehr gut leßbar und besser merkbar als normale Zahlen (Base 10).

Dezimal in Hexa

Die Dezimalzahl 347 wird ins Hexadezimalsystem umgewandelt

Gehe nach folgendem Verfahren vor:

(1) Teile die Zahl mit Rest durch 16.
(2) Der Divisionsrest ist die nächste Ziffer (von rechts nach links).
    Für Reste > 9 nimm die Buchstaben A, B, C, D, E, F
(3) Falls der (ganzzahlige) Quotient = 0 ist, bist du fertig,
    andernfalls nimm den (ganzzahligen) Quotienten als neue Zahl 
    und wiederhole ab (1).
    347 : 16 =  21  Rest: 11   --> Ziffer: B
     21 : 16 =   1  Rest:  5   --> Ziffer: 5
      1 : 16 =   0  Rest:  1   --> Ziffer: 1
    Resultat: 15B

Hexa in Dezimal

(1) Drehe die Hexadezimal-Zahl um. (2) Schreibe die einzelnen Ziffern unterein einander. (3) Multipliziere jede Ziffer mit 16n, wobei "n" jede Zeile um 1 steigt.

    B:  11 ·   1 =   11
    5:   5 ·  16 =   80
    1:   1 · 256 =  256
                   -----
                    347

Die folgende Tabelle soll das Prinzip noch einmal veranschaulichen:

160 161 162 163 164 165 166 167 168
0 1 16 256 4096 65536 1048576 16777216 268435456 => 4.294.967.295
Zahl Buchstabe
10 A
11 B
12 C
13 D
14 E
15 F

Hex addieren

Beispiel:

 ABC
 CBA
 ---
1776

Vorgangsweise:

1. Buchstaben zuerst (Im Kopf) in Zahlen umwandeln (siehe Schritt 2)
2. Falls das Ergebnis der Addition größer als 16 ist, wird "- 16" gemacht (Bei 32 "-32" und 2 im Übertrag, etc..), die rauskommende Zahl geschrieben und 1 im Übertrag
( A+C = 10+12 = 22 - 16 = 6 Ü1 )
( B+B+Ü1 = 11+11+1 = 23 - 16 = 7 Ü1 )
( A+C+Ü1 = 10+12+1 = 23 - 16 = 7 Ü1 )
Dezimal 16 ... 25 26 27 28 29 30 31 32 ...
Hexadezimal 10 ... 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 20 ...

Hex subtrahieren

Beispiel:

  ABF
- A7C
 -----
   43

Vorgangsweise:

Wie beim normalen (Dezimal)-Subtraktion rechnen:
( C(12) und wie viel ist F(15) ? 3)
( 7(7) und wie viel ist B(11) ? 4)
( A(10) und wie viel ist A(10) ? 0)

Anderes Beispiel mit Übertrag:

  FFE
- A7F
 -----
  57F

Vorgangsweise:

Wie beim normalen (Dezimal)-Subtraktion rechnen:
( F(15) und wie viel ist E(29 [14 + Base]) ? 15, Ü1)
( 7+Ü1(8) und wie viel ist F(15)? 7)
( A(10) und wie viel ist F(15)? 5)


Elektrik

Geschichte (#1)

Bis zum 18. Jahrhundert war Elektrizität noch magisch oder Göttlicher Einflussl (Man konnte sich auf Veranstaltungen elektrisieren lassen)

Erst die umfangreichen versuche von Ørsted und Galvani ginge über diese schauspielerische Darstellung hinaus und führten unter anderem zur Entwicklung erster Spannungsquellen. Die im 19. Jahrhundert betriebene Grundlagenforschung führte unter anderem 1854 zur Erfindung der Glühlampe durch Thomas Alva Edison. Die Erzeugung von Elektrizität mittels Magnetismus war eine weitere wichtige Entwicklung zur technischen Nutzung. Den ersten Generator nach diesem Verfahren erfand Werner von Siemens im Jahre 1866.

Neben der energietechnischen Anwendung wurde die Elektrotechnik im verstärktem Maße zur Übermittlung von Nachrichten verwendet. Die zuerst an Leitung gebundene Informationsübertragung wurde durch die drahtlose Übertragung von Signalen ergänzt.

Mit der Entwicklung der ersten elektronischen Rechenmaschinen (Konrad Zuse / Hovard H. Aiken) hielt die Elektrotechnik Einzug in die elektronische Datenverarbeitung. Die Entwicklung des Mikroprozessors als ein hochintegriertes elektronisches sowie auch günstiges Bauteil hat für eine weite Verbreitung von Computern gesorgt.

Elektronische Grundgrößen (#2)

Aufbau der Materie (#2.1.1)

Die elektrische Ladung lässt sich durch den Aufbau der Materie erklären. Alle Stoffe sind aus Atomen (griech. atomos = unteilbar) aufgebaut. Da wir Sie nicht sehen können, wird mit Hilfe von theoretischen Modellen das Verhalten von Atome beschrieben. Eines der bekanntesten Modelle ist das Bohrsche Atommodell.

  • Protonen: [+] Sind positiv geladene Elementarteilchen des Atomkerns. Sie tragen die kleinste elektronische Ladung die möglich ist.
  • Neutronen: [~] Sind elektrisch neutrale Elementarteilchen des Atomkerns
  • Elektronen: [-] Sind negativ geladene Teilchen der Atomhülle. Sie tragen eine den Protonen entgegengesetzte Elementarladung.

Elektrische Eigenschaften der Atome (#2.1.2)

Atome wirken immer dann nach außen elektrisch neutral, wenn sie gleiche viele Protonen wie Elektronen haben. Ist dieses Gleichgewicht gestört, spricht man von sog. Ionen.

Elektrische Felder (#2.2)

Das elektrische Feld ist ein Raum, in dem Ladungen (von Gegenständen) Kräfte ausgeübt werden.

Elektrische Spannung (#2.3)

Formelzeichen: U Einheit: Volt [V]

Zwischen verschiedenartigen Ladungen wirkt eine Anziehungskraft. Werden diese voneinander entfernt, so muss gegen diese Anziehungskraft eine Arbeit verrichtet werden. Diese Arbeit ist nun als Energie in den Ladungen gespeichert, wodurch zwischen den Ladungen eine Spannung entsteht.

Spannung entsteht durch Trennung von Ladungen

Zur Messung der Spannung wird das Messgerät an die Anschlüsse des Erzeugers bzw. Verbrauchers geschaltet.

In einer Spannungsquelle (zB Batterie) werden unter Energieaufwand elektrische Ladungen voneinander getrennt. Hierbei formt die Batterie nicht-Elektrische Energie in Elektrische Energie um.


Elektrischer Strom (#2.4)

  • Formelzeichen: I
  • Einheit: Ampere [A]

Die Spannung ist die Ursache für den elektrischen Strom. Elektrischer Strom fließt nur im geschlossenen Stromkreis. Der Stromkreis besteht aus Erzeuger, dem Verbraucher und der Leitung dazwischen.

Metalle haben Elektronen, die im inneren des Metalls frei beweglich sind. Sie bewegen sich von der Stell mit Elektronenüberschuss zur Stelle mit Elektronenmangel. DIese gerichtete Bewegung nennt man elektrischen Strom.

Zur Messung der Stromstärke wird das Messgerät in den Stromkreis geschaltet.

Technische Stromrichtung (Teilchenfluss): [+] -> [-] Elektronenstrom: [-] -> [+]

Elektrischer Widerstand (#2.5)

  • Formelzeichen: R
  • Einheit: Ohm [Ω]

Dem Fluss des elektrischen Stromes durch ein bestimmtest Material wird ein mehr oder weniger großer Widerstand entgegengesetzt. Dieser ist vom Material und von der Temperatur abhängig. Der Kehrwert des Widerstandes ist der Leitwert.

Widerstand mithilfe des Leitwertes berechnen:
Leitwert mithilfe des Widerstandes berechnen:


Leiterwiderstand (#2.5.1)

Der Widerstand eines Leiters hängt von der Länge, vom Querschnitt und vom Leitwerkstoff ab.

Dabei gelten die Formeln:



Wobei der Querschnitt A auch mithilfe des Durchmessers/Radius berechnet werden kann. (Kreisformel):


R: Widerstand des Leiters in Ω.
A: Querschnitt des Leiters in mm².
l: Länge des Leiters in m.
p (Roh): spezifischer Widerstand in m/Ω*mm². (Tabellenwert)
y (Gamma): spezifischer Leitwert in m/Ω*mm². (Tabellenwert)

Ohmsches Gesetz (#2.6)

Den Zusammenhang zwischen Stromstärke, Spannung und Widerstand nennt man Ohmsches Gesetz. Es gilt:




Alle Formeln auf einem Blick: Elektrischer Widerstand

Leitwert (G)

geg: Leiterwiderstand (R)
ges: Leitwert (G)
Lösung:  aka.  
geg: Leitwert (G)
ges: Leiterwiderstand (R)
Lösung:  aka. 

Drahtwiderstand (R)

geg:
 spez. Widerstand (p)
 Länge (l)
 Querschnitt (A)
ges: Drahtwiderstand (R)
Lösung:  aka. 

spez. Widerstand (p)

geg:
 Drahtwiderstand (R)
 Länge (l)
 Querschnitt (A)
ges: spez. Widerstand (p)
Lösung:  aka.  

Drahtlänge (l)

geg:
 Drahtwiderstand (R)
 spez. Widerstand (p) 
 Querschnitt (A)
ges: Länge (l)
Lösung:  aka.  

Windungszahl (n)

geg:
 Länge der Spule (l)
 Drahtdurchmesser (A)
ges: Windungszahl (n) (Wie oft kann ein Draht um eine Spule gewickelt werden)
Lösung:  aka.  

Drahtlänge (l) mithilfe von Windungszahl und Druchmesser der Spule

geg:
 Spulen-Durchmesser
 Windugszahl (n)
ges: Drahtlänge (l)
Lösung: 
 aka.  
aka.

Alle Einheiten auf einen Blick (Tabelle) mit Beschreibung

Zeichen Name (Einheit) kurz Beschreibung
U Volt (V) Spannung
R Widerstand (Ω) Widerstand eines Leiters
I Strom (A) fließender Strom, Ursache: Spannung
G Leitwert (S) Gegenteil des (Leiter)-Widerstandes
p spez. Widerstand (S oder Ωmm²/m) "Tabellenwert"-Widerstand eines Materials
l Länge (m) Länge
A Querschnitt (mm²) Querschnitt (Fläche)
U Umfang (mm) Umfang (eines Kreises)
n Windungszahl Wie oft man einen Draht um ein Objekt winden kann

Taschenrechner Training

Zahl Zehnerpotenz Bezeichnung Abkürzung
1 000 000 000 = 1 Milliarde 10<up>9</up> Giga G
1 000 000 = 1 Million 10<up>6</up> Mega M
1 000 = 1 Tausend 10<up>3</up> Kilo K
1 = 1 10<up>0</up>
0,001 = 1 Tausendstel 10<up>-3</up> Milli m
0,000 001 = 1 Millionstel 10<up>-6</up> Nano mikro
0,000 000 001 = 1 Milliardstel 10<up>-9</up> Nano n
0,000 000 000 001 = 1 Milliardstel 10<up>-12</up> Piko p